Znanje

Kako faktoriti polinom drugog stupnja (jednadžba drugog stupnja)

Posted on
Autor: Monica Porter
Datum Stvaranja: 17 Ožujak 2021
Datum Ažuriranja: 1 Srpanj 2024
Anonim
2. razred srednje 3. Polinom drugog stupnja i njegov graf 3.3 Nul-točke polinoma drugog stupnja
Video: 2. razred srednje 3. Polinom drugog stupnja i njegov graf 3.3 Nul-točke polinoma drugog stupnja

Sadržaj

U ovom članku: Nastavite pokušajem i pogreškomProcedi raspadom „Trostruka igra“ Razlika dvaju kvadrataKoristite četverostruku formulu Korištenje kalkulatora

Polinom je sastavljen od varijable (x) uzdignute na određenu snagu koja se naziva stupnjem polinoma i nekoliko drugih pojmova nižih stupnjeva i / ili nekoliko drugih konstanti. Faktorizirati polinom drugog stupnja (koji se također naziva „kvadratna jednadžba“) znači smanjiti početni izraz na proizvod izraza manjih stupnjeva koji se mogu množiti jedan za drugim. To je znanje dio srednjoškolskog predmeta i više, pa će ovaj članak možda biti teško razumjeti ako još nemate potrebnu razinu matematike.


faze

Za početak



  1. Napišite svoj izraz. Standardni oblik jednadžbe drugog stupnja je:

    ax + bx + c = 0
    Započnite sređivanjem izraza svoje jednadžbe prema redoslijedu moći, od najvećeg do najmanjeg, kao u standardnom obliku. Uzmimo za primjer:

    6 + 6x + 13x = 0
    Ovaj ćemo izraz preurediti tako da olakša posao jednostavnim pomicanjem izraza:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Pronađite obrazac sa faktorima pomoću jedne od metoda objašnjenih u nastavku. Faktorizacija će dati dva kraća izraza koja će dati početni polinom ako ih množimo jedan na drugi:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    U ovom primjeru su (2x +3) i (3x + 2) čimbenici početnog izraza, 6x + 13x + 6.




  3. Provjerite svoj rad! Pomnožite faktore koje ste identificirali. Zatim kombinirajte slične pojmove i bit ćete gotovi. Započnite s:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Počnimo s testiranjem ovog izraza, množenjem izraza dva izraza da bismo dobili:

    6x + 4x + 9x + 6
    Odatle možemo dodati 4x i 9x jer su izrazi istog stupnja. Tada znamo da su naši čimbenici tačni, jer dobro padamo na izraz odlaska:

    6x + 13x + 6.

1. metoda Postupak pokušajem i pogreškom

Ako se bavite prilično jednostavnim polinomom, trebali biste biti u mogućnosti da njegovu dekompoziciju pronađete kao faktorski proizvod u prvi mah. Na primjer, mnogi matematičari su u stanju vidjeti taj izraz 4x + 4x + 1 daje čimbenike (2x + 1) i (2x + 1) po navici i iskustvu (očito, to nije tako jednostavno u slučaju složenih polinoma). Za ovaj primjer uzmimo manje uobičajeni izraz:

3x + 2x - 8

.




  1. Napravite popis faktora koeficijenta ima i c. Koristeći izraz forme ax + bx + c = 0, identificirati koeficijente ima i c i nabrojiti odgovarajuće faktore. Za: 3x + 2x - 8, ovo daje:

    a = 3 i ima samo jedan par faktora: 1 * 3
    c = -8 i četiri para faktora: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 i -1 * 8..



  2. Na svoj papir napišite dva para zagrade sa razmakom. Unesite konstante za svaki izraz u predviđenom prostoru:

    (x) (x).



  3. Prije x, napišite par mogućih faktora za koeficijent ima. Za koeficijent ima u našem primjeru 3x postoji samo jedna mogućnost:

    (3x) (1x).



  4. Zatim u preostala dva prazna mjesta popunite s par faktora za koeficijent c. Uzmimo za primjer 8 i 1. Zapišite ih:

    (3x8) (X1).



  5. Odredite sada znak (više ili manje) da biste postavili između x i broja koji ste postavili za njim. Prema znaku izvornog izraza moguće je pronaći ono što trebaju biti znakovi konstanti. poziv h i k konstante naših faktora:

    Ako je ax + bx + c tada (x + h) (x + k)
    Ako je ax - bx - c ili ax + bx - c tada (x - h) (x + k)
    Ako je osovina - bx + c onda (x - h) (x - k)
    U našem primjeru, 3x + 2x - 8, znakovi se moraju postaviti na sljedeći način: (x - h) (x + k), što nam daje sljedeća dva faktora:

    (3x + 8) i (x - 1).



  6. Provjerite faktički obrazac ponovnim razvojem. Prvi brzi test je provjera ima li srednji termin pravu vrijednost. Ako x nije dobar, možda ste odabrali pogrešan par faktora za koeficijent c, Provjerimo naše rezultate:

    (3x + 8) (x - 1)
    Množenjem dobivamo:

    3x - 3x + 8x - 8
    Dodavanjem sličnih izraza (-3x) i (8x) radi pojednostavljenja ovog izraza, dobivamo:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Sada znamo da smo vjerojatno identificirali pogrešne faktore:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Ako je potrebno, razmijenite svoj izbor čimbenika. U našem primjeru pokušajmo 2 i 4 umjesto 1 i 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Sada je naš koeficijent c je -8, ali množenja (3x * -4) i (2 * x) daju -12x i 2x, koja osim toga ne daju uvijek početnu vrijednost b, to je + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Ako je potrebno, obrnite narudžbu. U naš primjer pretvaramo mjesta 2 i 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Sada koeficijent c je uvijek dobar, ali koeficijenti pojmova u x vrijede ovaj put -6x i 4x. Nakon dodavanja, ovo daje:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Vrlo smo blizu početne vrijednosti 2x koju želimo pronaći, ali znak nije dobar.



  9. Ponovno provjerite znakove. Sada ćemo zadržati isti red, ali razmjenjivat ćemo znakove:

    (3x - 4) (x + 2)
    Prije koeficijent c je uvijek dobar, a izrazi u x sada vrijede (6x) i (-4x). zato što:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Tako dobivamo 2x koji smo prvobitno imali. Tako da smo vjerojatno pronašli prave čimbenike.

Metoda 2 Nastavite razgradnjom

Ova metoda će nam omogućiti da identificiramo sve moguće čimbenike za dobivanje koeficijenata ima i c i pomoću njih prepoznati koji su faktori pravi. Ako su brojevi vrlo veliki ili su druge metode pokušaja i pogreške pogrešne, možete koristiti ovu metodu. Uzmite sljedeći primjer:

6x + 13x + 6

.



  1. Pomnožite koeficijent ima po koeficijentu c. U našem primjeru, ima jednaka je 6 i c isto je jednako 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Pronađite koeficijent b faktoringom i zatim testiranjem dobivenih faktora. Tražimo dva broja koja su faktori proizvoda ima * c koje smo identificirali i čija suma vrijedi vrijednost koeficijenta "b" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Uvedite dva broja koja ste upravo dobili u svojoj jednadžbi; stavite ih ispred x, tako da je njihov zbroj jednak koeficijentu b. Uzmimo pisma k i h predstaviti dva dobivena broja, 4 i 9:

    ax + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Uzmite u obzir vaš polinom grupiranjem. Organizirajte jednadžbu tako da pronađete najveći zajednički faktor prva dva pojma i najveći zajednički faktor posljednja dva pojma. Tada biste trebali dobiti zbroj dva identična faktora. Zbrojite dva koeficijenta zajedno i stavite ih u zagrade ispred svog faktorskog oblika; tada dobivate svoja dva faktora:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

3. metoda "Trostruka igra"

Ova metoda je vrlo slična prethodnoj. To se sastoji od ispitivanja mogućih faktora za produkte koeficijenata ima i c, a zatim ih koristite za pronalaženje vrijednosti b, Uzmimo za primjer sljedeću jednadžbu:

8x + 10x + 2



  1. Pomnožite koeficijent ima po koeficijentu c. Kao i kod metode raspadanja, to će nam pomoći da identificiramo potencijalne kandidate za koeficijent b, U našem primjeru, ima jednaka je 8 i c vrijedi 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Pronađite dva broja čiji je proizvod broj koji smo pronašli ranije (16) i čiji zbroj daje koeficijent "b". Ovaj korak je identičan onome u metodi raspadanja - to jest, testiramo i odbacujemo kandidate za konstante. Proizvod koeficijenata ima i c jednak je 16, a koeficijent c je jednako 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Uzmi ova dva broja i zamijeni ih u formuli "trostruke igre". Uzmite dva broja iz prethodnog koraka - nazovimo ih h i k - te ih uvesti u sljedećem izrazu:

    ((os + h) (os + k)) / a

    Tada dobivamo:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Pronađite koji je zagradski izraz u brojniku djeljiv s koeficijentom ima. U ovom primjeru testiramo možemo li (8x + 8) ili (8x + 2) podijeliti s 8. (8x + 8) je djeljivo sa 8, tada ćemo taj izraz podijeliti s ima a drugi izraz ostavite onakav kakav jest.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Izraz koji ovdje zadržavamo onaj je koji ostaje nakon dijeljenja s koeficijentom ima : (x + 1).



  5. Nađite - ako postoji - veći zajednički faktor u obje zagrade. U našem primjeru drugi izraz ima veći zajednički faktor 2, budući da je 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinirajte ovaj odgovor s izrazom koji ste pronašli u prethodnom koraku. Tako ste pronašli dva faktora vašeg polinoma.

    2 (x + 1) (4x + 1).

Metoda 4 Razlika dvaju kvadrata

Neki koeficijenti polinoma mogu se identificirati kao "kvadrat", tj. Kao produkti množenja dva broja. Identificirajući ove kvadrate, možete mnogo brže faktorisati neke polinome. Uzmimo za primjer jednadžbu:

27x - 12 = 0



  1. Započnite tako da sve razvrstite u veći zajednički faktor ako je moguće. U našem primjeru vidimo 27 i 12, a oba su djeljiva s 3, tako da možemo „razbiti“ početni izraz na sljedeći način:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. Utvrdite jesu li koeficijenti vaše jednadžbe u kvadratnim brojevima. Da biste koristili ovu metodu, trebali biste biti u mogućnosti naći kvadratne korijene za vaše koeficijente (imajte na umu da negativne znakove ne smatramo - budući da imamo posla s kvadratima, oni mogu biti proizvod dva pozitivna broja ili negativan)

    9x = 3x * 3x i 4 = 2 * 2.



  3. Pomoću kvadratnih korijena koje ste pronašli napišite svoje faktore. Uzmite vrijednosti od ima i c prethodno pronađeno - ima = 9 i c = 4 - prije pronalaska njihovog kvadratnog korijena - √ima = 3 i √c = 2. To će biti koeficijenti naših faktorskih izraza:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 Korištenje kvadratne formule

Ako su sve gore navedene metode neuspjele i ne možete pronaći ispravne faktore za svoju jednadžbu, upotrijebite kvadratnu formulu. Uzmite sljedeći primjer:

x + 4x + 1 = 0



  1. Uzmite vrijednosti koeficijenata "a", "b" i "c" i zamijenite ih u sljedeću kvadratnu formulu:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Tada dobivamo izraz:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Riješite jednadžbu da biste pronašli x. Kao što vidite gore, trebali biste dobiti dvije vrijednosti x:


    x = -2 + √ (3) ili x = -2 - √ (3).



  3. Upotrijebite vrijednost x za pronalaženje faktora. Unesite vrijednosti x prethodno dobivene kao konstante dva polinomna izraza. To će biti vaši faktori. poziv h i k vrijednosti x, i zapišite dva faktorirana oblika:

    (x - h) (x - k)
    U ovom slučaju, krajnji rezultat je:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

6. način upotrebe kalkulatora

Ako vam je dopušteno korištenje grafičkog kalkulatora, imajte na umu da će vam to uvelike olakšati zadatak, posebno tijekom ispita. Ove upute vrijede samo za grafičke proračune marke Texas Instrument. Uzmimo za primjer sljedeću jednadžbu:

y = x - x - 2



  1. Unesite jednadžbu u kalkulator. Morat ćete koristiti "rezolucijsku jednadžbu", to jest zaslon.



  2. Na kalkulatoru napravite grafički prikaz svoje jednadžbe. Nakon unosa jednadžbe pritisnite - tada biste trebali vidjeti grafički prikaz krivulje (točnije, dobit ćete "luk", jer radite na polinomima).



  3. Pronađite točke sjecišta luka s osi x (x). Budući da se polinomne jednadžbe tradicionalno pišu u obliku: ax + bx + c = 0, to su dvije vrijednosti x za koje je izraz jednak nuli:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Ako ne možete pročitati vrijednosti mjesta na kojem vaša krivulja prelazi osi x, tada pritisnite. Pritisnite ili odaberite "zero". Pomaknite pokazivač lijevo od jednog raskrižja i pritisnite. Zatim pomaknite pokazivač desno od ovog sjecišta i ponovno pritisnite. Zatim pomaknite pokazivač što bliže raskrižju i ponovno pritisnite. Kalkulator će naći vrijednost x. Naredite istu stvar za drugo raskrižje.



  4. Na kraju, unesite x vrijednosti dobivene u prethodnom koraku u dvofaktorski izraz. Ako nazovemo h i k naše dvije vrijednosti x, tada ćemo upotrijebiti sljedeći izraz:

    (x - h) (x - k) = 0
    I tako ćemo dobiti sljedeća dva faktora:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Olovka
  • papir
  • Jednadžba drugog stupnja (ili kvadratna jednadžba)
  • Grafički kalkulator (izborno)