Sadržaj
- faze
- 1. dio Razumijevanje problema
- Drugi dio izmislite demonstraciju
- Treći dio Napišite demonstraciju
Ponekad je teško demonstrirati. Da bi se to postiglo, čovjek mora implementirati i svoje znanje matematike i znanje pisanja ove demonstracije.Nažalost, ne postoji čaroban način da uspijete bez truda i prvi put. Morate imati čvrste temelje u ovom materijalu da biste svoje obrazloženje hranili ispravnim teoremima i definicijama. Vježbajte, čitajte demonstracije, to je najbolji način da na kraju sami to sjajno napišete.
faze
1. dio Razumijevanje problema
-
Identificirajte pitanje. Vaš prvi zadatak je odrediti što ćete točno morati dokazati. Ovo će pitanje poslužiti i kao zaključak demonstracije. Istodobno odvojite vrijeme za prepoznavanje hipoteza s kojima ćete raditi. To je polazna osnova za razumijevanje problema i njegovo rješavanje. -
Napravite dijagrame. U matematici, kada želite razumjeti uloge i nedostatke vježbe, često je korisno napraviti sažeti dijagram. To je još istinitije u geometriji, gdje možete izravno vizualizirati ono što pokušavate dokazati.- Upotrijebite izjavu za pravljenje dijagrama. Navedi poznate podatke i nepoznanice.
- Imajte na umu kao i kada sve informacije koje mogu doći u prilog demonstraciji.
-
Studija. Naučiti pisati matematički dokaz nije očito. Da bismo vam pomogli, pročitajte i analizirajte teoreme povezane s onom na kojoj radite kako biste razumjeli kako su izgrađene.- Recite sebi da je demonstracija zapravo ništa više nego dobar argument čije su izjave opravdane u svakoj fazi. Pronaći ćete mnogo primjera u svojim udžbenicima i na internetu koji mogu poslužiti kao modeli.
-
Postavljajte pitanja. Ako imate bilo kakvih pitanja, slobodno pitajte svog učitelja ili kolege iz razreda. Oni se mogu pitati i za neke od razloga, možete li raditi zajedno. Bolje je zatražiti pomoć nego biti sam i slijepo pipkati nadajući se postizanju rezultata.- Poslije predavanja razgovarajte sa svojim učiteljem da vas izvede na pravi put.
Drugi dio izmislite demonstraciju
-
Shvatite što je demonstracija. To je niz logički poredanih tvrdnji potkrijepljenih definicijama i teorema kojima se dokazuje istinitost druge tvrdnje. To je jedini način da se utvrdi da li je obrazloženje samo matematički.- Sposobnost pisanja demonstracija nesumnjivo svjedoči o vašem dubinskom razumijevanju problema i koncepata pomoću kojih ga rješavate.
- Ova vježba također vam omogućuje percepciju matematike u vrlo zanimljivom novom svjetlu. Čak i u slučajevima kada nećete moći uspješno dovršiti svoje demonstracije, pokušaj će vam pomoći da poboljšate svoje znanje i razumijevanje svog tečaja.
-
Razmislite o svojoj publici. Ne smijete zaboraviti za koju vrstu čitača radite i na kojoj je razini razumijevanja. Demonstracija namijenjena objavljivanju u znanstvenom časopisu i obrazloženje na tečaju matematike u srednjoj školi nije napisana na isti način.- Morate pisati osiguravajući da vaš čitatelj može pratiti vaš napredak znanjem koje već posjeduje.
-
Odredite vrstu demonstracije. Postoji nekoliko modela demonstracija, izabrati ćete ih prema uputama datim vama i čitatelju kome je vježba namijenjena. Ako niste sigurni u pravi izbor, zatražite pomoć svog učitelja. U srednjoj školi se od vas ne očekuje da uvijek napišete demonstraciju u njenom klasičnom obliku.- Demonstracija u obliku tablice može se dati stavljanjem potvrda u prvi stupac, a u drugom argumenata koji opravdavaju te izjave. Često se na taj način nastavlja u geometriji.
- U svom klasičnom obliku matematički dokaz mora biti napisan gramatički ispravnim rečenicama i bez ikakvih simbola. Na akademskoj razini to će se zahtijevati.
-
Pomozite si demonstracijom u dva stupca. Stavljanje obrazloženja u tablicu omogućit će vam da znate glavne crte demonstracije prije nego što ih napišete u klasičnom obliku. Možete koristiti tablicu da organizirate svoje ideje i razmislite o pitanju. Na sredini lista crtajte okomito, zatim s lijeve strane napišite poznate podatke i sve svoje navode. Opravdajte ih s desne strane uz pomoć točnih definicija i teorema.- Evo primjera.
- Kutovi A i B su susjedni. Dano izjavom.
- Kut ABC je ravni kut. Definicija ravnog kuta.
- Kut ABC mjeri 180 °. Definicija ravne linije
- Kut A + Kut B = Kut ABC. Svojstvo zbroja kutova.
- Kut A + Kut B = 180 °. Zamjena vrijednošću.
- Kutovi A i B su dodatni kutovi. Definicija dodatnih kutova
- C.Q.F.D.
-
Prebacite se s tablice na standardno obrazloženje. Upotrijebite svoja dva stupca kako biste demonstraciju napisali kao pisani odlomak koji ne bi trebao imati previše simbola ili kratica.- Na primjer: A i B su susjedni kutovi. Prema hipotezi, kutovi A i B su dodatni. Kako su one dodatne i susjedne, strane kutova A i B tvore ravnu liniju. Definicija ravne linije podrazumijeva da ona ograničava kut od 180 °. Na osnovu postulata koji se odnose na zbrojeve kutova, možemo reći da nam dodavanje kutova A i B daje liniju ABC. Zbroj kutova A i B dobro je jednak 180 °, dakle oni su dodatni kutovi. C.Q.F.D.
Treći dio Napišite demonstraciju
-
Upoznajte se s rječnikom. Vrlo brzo ćete shvatiti da se određene pretvorbe rečenica vraćaju bez zaustavljanja u demonstracijama. Morate ih naučiti poznavati i mudro ih koristiti za uspješno pisanje vlastitih demonstracija.- Formule tipa "ako je A istina, onda je B istina" znače da morate dokazati da kad god je A istina, B je također istina.
- "A je istina ako je i samo ako je B istina" znači da morate dokazati da su B i A istinite i lažne istovremeno. Dakle, pokažite da je „ako je A istina, onda je B istina“, a i da je „ako je A lažno, onda je B lažno“.
- "A je istina samo ako je B istina" druga je formulacija za reći "ako je A istina, onda je B istina". Malo je rjeđe, ali to ipak morate znati u slučaju da ga sretnete.
- Pri pisanju demonstracije koristite "mi", a ne "on".
-
Navedi poznate podatke. Prilikom dizajniranja demonstracije vaš je prvi zadatak prepoznati i navesti sve informacije sadržane u izjavi. To vam omogućuje da zabilježite ono što znate i što još morate učiniti kako biste došli do matematičkog dokaza. Pregledajte svoj problem pažljivo i zapišite sve što smatrate korisnim.- Pogledajte primjer: pokažite da su dva susjedna kuta (A i B) dodatna.
- Što je dano: kutovi A i B su susjedni.
- Što dokazati: kutovi A i B su dodatni.
-
Definirajte varijable. Jednom kada imate sve poznate podatke ispred sebe, morate dati definiciju svake varijable. Da biste čitatelju učinili jasnim, zapišite ove definicije kao početni. Ako to ne učinite, to će se vrlo brzo moći izgubiti u vašem obrazloženju.- Nikada ne koristite varijable koje nisu prethodno definirane.
- U našem primjeru varijable će biti mjere kutova A i B.
-
Nastavite obrnuto. Vrlo često je mnogo lakše odvesti problem u suprotnom smjeru. Krenite od kraja, to jest iz izjave koju pokušavate demonstrirati, i pokušajte razmisliti o slijedu logičkih koraka koji vas mogu vratiti na početak obrazloženja.- Radite na prvim i posljednjim koracima kako biste vidjeli možete li ih učiniti sličnim. To se temelji na poznatim podacima, definicijama koje ste naučili i sličnim demonstracijama koje ste već doživjeli.
- Zapitajte se na svakom koraku. "Zašto je to tako? I "Postoje li slučajevi u kojima bi to moglo biti lažno? Vrlo su relevantna pitanja koja ćete postaviti tijekom svog logičnog napretka.
- Ne zaboravite tijekom konačnog sastavljanja sve korake postaviti ispravnim redoslijedom.
- Uzmimo naš primjer: ako su A i B dodatni kutovi, to znači da je zbroj njihovih mjera 180 °. Kombinacija ova dva kuta tvori liniju ABC. Znate da oni formiraju ravnu liniju definirajući susjedne kutove. Budući da linijski segment također odgovara ravnom kutu, mjerenje je 180 °. Budući da je kut od crte 180 °, možete zamijeniti da biste pokazali da ako im dodamo i uglove A i B su također 180 °.
-
Naručite korake logično. Započnite na početku i napredujte prema zaključku. Iako je vrlo praktično razmišljati unatrag kada tražite rješenje, u vrijeme pisanja demonstracije morate biti oprezni da sve vratite u pravilan redoslijed, s zaključkom na kraju. Vaše obrazloženje mora se odvijati korak po korak, s opravdanjem za svaku izjavu, tako da čitatelj u bilo kojem trenutku nema mogućnost sumnje u valjanost vaše demonstracije.- Počnite s pretpostavkama koje radite.
- Koristite jednostavne i očiti korake kako se čitatelj nikad ne bi pitao kako ste prešli iz jednog koraka u drugi.
- Ne ustručavajte se napraviti nekoliko nacrta svoje demonstracije. Napravite onoliko testova koliko vam je potrebno da preuredite korake dok ne dobijete najlogičniji mogući redoslijed.
- Počevši od početka, ovdje ćemo dati primjer u nastavku.
- Kutovi A i B su susjedni.
- Kut ABC je ravan.
- Kut ABC mjeri 180 °.
- Kut A + Kut B = Kut ABC.
- Kut A + Kut B = 180 °.
- Kutovi A i B su stoga dodatni.
-
Izbjegavajte strelice i kratice. Do trenutka kada napravite nacrt plana, imate pravo koristiti simbole i ne napisati sve u cijelosti. S druge strane, u konačnoj verziji ti bi elementi mogli naštetiti razumijevanju vašeg čitatelja, zato je bolje da ih ne upotrebljavate i zamjenjujete riječima povezivanja poput "tako" ili "posljedično".- Jedina zapažena iznimka od ovog pravila je upotreba kratice C.Q.F.D (za „što pokazati“) na kraju godine.
-
Opravdati. Sve vaše potvrde moraju biti podržane definicijama, teoremama ili matematičkim zakonima. Tek tada će vaša demonstracija biti valjana. Nijedan argument nije valjan ako ga ne prati definicija. Da biste vidjeli što to konkretno može dati, ne ustručavajte se uputiti se na demonstracije bliske onome na kojem radite i koje će poslužiti kao primjeri.- Testirajte demonstraciju pokušavajući je primijeniti na određeni slučaj za koji će obično biti neistinit. Ako nije lažno da je ovaj konkretni slučaj isključen iz uvjeta demonstracije, morate preispitati svoje obrazloženje.
- U geometriji su demonstracije vrlo često predstavljene kao tablica s dva stupca, s jednim stupcem za argument i jednim za opravdanje. Međutim, uobičajeni oblik klasične demonstracije je odlomak napisan s cjelovitim rečenicama.
-
Zaključi C.Q.F.D. Posljednja rečenica demonstracije trebala bi biti ono što ste pokušali pokazati. Jednom kada ga napišete, završite akronimom C.Q.F.D ili napravite mali obojeni kvadrat koji će značiti da je vaš rad dovršen.- Formula s latinskog Q.E.D. (quod erat demonstrandum), što također znači "što demonstrirati".
- Ako niste sigurni je li vaša demonstracija uvjerljiva, pokušajte napisati još nekoliko rečenica kako biste objasnili kako ste došli do ovog zaključka i zašto vam to ima smisla.